De Adrian Grauenfels
Ilustrații de Eugene MATZOTA

Numerele naturale au fascinat dintotdeauna omenirea, ce le-a considerat, pe bună dreptate, ca fiind mai mult decât mijloace de a studia cantităţile, le-a considerat entităţi având o personalitate proprie.

Mistica tuturor popoarelor abundă de proprietăţi supranaturale atribuite numerelor. Într-adevăr, pare că, pe măsură ce le cercetezi mai adânc, descoperi că au „consistenţă”, că, departe de a fi o creaţie conceptuală a omului, un simplu instrument la îndemâna sa, se conduc de fapt după legităţi proprii, pe care nu-ți permit să le influenţezi, ci doar să le descoperi. Printre primii oameni care au simţit acest lucru se numără Pitagora, ce a început prin a cerceta numerele şi a sfârşit prin a întemeia o mişcare religioasă puternic fondată pe simbolistica numerelor.

Pasiunea sa pentru numerele naturale era atât de mare (accepta, totuşi, şi existenţa numerelor raţionale, ce sunt, în fond, tot un raport de numere naturale), încât circulă o legendă conform căreia şi-ar fi înecat un discipol pentru „vina” de a-i fi relevat existenţa numerelor iraţionale. Mult mai aproape pe scara istoriei, în secolul XIX, matematicianul german Leopold Kronecker este creditat a fi spus: „Dumnezeu a creat numerele naturale; toate celelalte sunt opera omului”.
Că să lămuresc enigma, am cerut ajutorul amicului matematician Ioan-Mircea Popovici. Iată răspunsul său:

  1. Începem cu numerele naturale, notate cu N. Cea mai la îndemână cale este “Via Peano”, care le defineşte prin 5 axiome. ”Cele cinci axiome Peano sunt:
    g Zero este un număr natural;
    g Fiecare număr natural are un succesor în numerele naturale;
    g Zero nu este succesorul unui număr natural;
    g Dacă succesorul a două numere naturale este același, atunci cele două numere originale sunt aceleași;
    g Dacă un set conține zero și succesorul fiecărui număr este în set, atunci setul conține numerele naturale.”

Când eram student, la ”Bazele matematicii”, Von Neuman ne-a introdus numerele naturale prin două axiome:

a1. Zero este primul număr natural.
a2. Dacă “n” este număr natural, atunci n+1 este număr natural ceea ce induce faptul că mulţimea numerelor naturale este infinită.
Nu există un ultim număr natural aşa cum nu există un ultim număr par, impar sau un ultim număr prim. Infinitatea aceasta de elemente se numeşte Aleph Zero.

Categorii speciale de numere naturale

  1. Există mai multe categorii de numere naturale.
    1.1. Numere de forma 2n, numite numere pare şi cele de forma 2n+1 care se numesc impare (cu soţ, cele pare şi fără soţ, cele impare).
    1.2. O categorie specială de numere naturale o reprezintă numerele prime, cele care nu au alţi divizori decât pe ele însele. Singurul număr prim par este 2. Restul numerelor prime sunt impare. Ex: (1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 etc)
    O modalitate de a găsi numerele prime mai mici decât un număr dat “n” o reprezintă “ciurul lui Eratostene”.
    Numărul de elemente al unei mulţimi M se numeşte cardinalul mulţimii M. Numerele naturale au cardinalul Aleph Zero.
    1.3. Numerele prietene sau amiabile sunt perechile de numere în care fiecare număr în parte este suma divizorilor (toţi divizorii proprii şi 1) celuilalt număr (cu alte cuvinte, fiecare număr este suma alicotă a celuilalt număr).
    Primele seturi de numere prietene sunt (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368).
    Se spune că Pitagora, la întrebarea cine este Prietenul? a răspuns: “Acela care este alt eu, ca numerele 220 şi 284”. Divizorii lui 220 sunt 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 şi 110, iar suma acestora este 284. Divizorii lui 284 sunt 1, 2, 4, 71 şi 142, iar suma acestora este 220.”
    Pe lângă numerele amiabile, există şi numerele catalane, numerele automorfe, numere Carol, numere briliante, numere binomiale şi multe altele pe care le găseşti aici definite şi exemplificate: (vezi fs.unm.edu/EnciclopediaNumerelor.pdf)
  2. Numerele întregi completează numerele naturale N prin simetricele lor faţă de Zero, numere pe care le numim întregi negative. Numerele întregi se notează cu Z. Cardinalul lui Z este tot Aleph Zero.
  3. Numerele raţionale se notează cu Q şi sunt de forma p/q, unde pe şi q sunt numere luate din Z.

Am obosit după numai trei categorii de numere. Care este folosul lor ? De ce există? Câteva observații:

  1. Nevoia de numere este imperioasă la oameni. Ei dispută cantități, fac schimburi, măsoară timpul și spațiul pentru a organiza viața . Au inventat metrul, ceasul și banii pentru a cuantifică bunurile, procesele fizice, datoriile etc. Matematica este legitimă și recunoscută ca un aparat util de reglementare în toate ramurile vieții.
    În acest proces de măsurare și evaluare a obiectelor /mărfuri/ posesiuni etc, apar fracțiile. Pentru că măsurătorile nu se limitează la numere întregi, ci cuantifică cu precizie cantități, materiale, măsuri fizice etc.
  2. Natura nu are nevoie de fracții. Nu vom găsi nimic în univers care să fie descris de o fracție, de la atom și până la galaxii totul e produs din unități întregi. Natura nu generează numere negative. Temperaturile minus, numerele negative sunt invenții ale omului.
  3. În natură nu există ZERO. Filosofia se zbate să definească Zero, așa cum fizica vrea să explice că negrul nu este o culoare. Negrul este lipsa luminii (lipsa de câmp electromagnetic) în spectrul vizual al omului. Să revenim la noțiunea de ZERO. Ea trebuie urmată de o calificare. Zero mere, zero dolari, zero la purtare. Adică lipsa totală a unui obiect, proprietate sau atitudine. E OK. Îi este comod omului să rotunjească fracțiile foarte mici la ZERO.
    Natura e discontinuă. Ea folosește cuante de energie, fotoni, electroni sau bozoni. Întotdeauna un număr întreg. Dar există ZERO în natură? În orice punct din spațiu (și în tot universul) vom găsi materie, energie sau câmp gravitațional. Nu există un vacuum total descris de ZERO.
    Încă o minune a naturii. De mici ne jucăm cu cercul. Desenăm cercuri. Împărțind conturul la raza cercului căpătăm numărul Pi care este 3.14159265358979323846… etc fără de sfârșit.
    Minunea este că oriunde în univers un cerc va produce acest număr transcendental în orice sistem numeric folosit.
    Și acum, să încheiem cu marele filozof Ludwig Wittgenstein. El leagă informația de restul universului. Informația este un animal ciudat. Tot o invenție a omului, folosită la descris fenomene, a le înregistra, comunica sau stoca.
    O muzică scrisă acum 700 de ani a fost codată în semne (informație) și azi o putem reda exact că în vechime. La fel, limbajul format din sunete, pauze și exclamații a fost codificat prin scris. Deci cultura unui trib include tradiții, vise, legi (informație orală) care cu timpul au fost transcrise prin intermediul unui alfabet. Totalitatea combinaților folosite de acest alfabet reprezintă limbajul unei culturi. Cu cât mai înaintată spiritual și tehnologic, cu atât mai bogat limbajul.
    Nu putem gândi ceva în afara limbajului, spune Ludwig. Tot ce există sau percepem cu simțurile noastre poate fi descris prin limbaj. Extrapolând prin mecanisme logice matematice, intuitive etc, omul poate face descoperiri importante chiar și fără instrumente sau percepție imediată.
    În natură, există legi ale simetriei care se explică prin nevoia de echilibru într-un spațiu fizic dat. Toți fulgii de gheață care apar pe un geam iarna sunt simetrici, dar diferiți unul de altul.
    De ce? Pentru că există legi aleatorice care iau controlul la un anumit nivel. Corolarul lui Wittgenstein: ”Tot ce putem gândi, există.”
    Într-un univers infinit, afirmația trebuie să fie perfect adevărată. █

 

Îți place ce-am făcut până acum?
Ajută-ne să mergem mai departe, atât cât poți.
Leu cu leu s-a construit Ateneul.

Asociația ECOULTOUR – OAMENI, FAPTE, IDEI
RO46INGB0000999911598179, ING Bank
RO21BTRLRONCRT0287053901, Banca Transilvania

Did you like it?
DONATE
THANK YOU!